piccoli problemi crescono

Mio fratellino, all’ultimo anno delle medie, si sta preparando per concorre a un po’ di giochi matematici (nonostante, il contributo della sua prof rasenti l’ostruzionismo).

Passando accanto alla sua scrivania, mi è caduto l’occhio su uno dei fogli su cui si stava allenando. Il problema 7 era una specie di banalità. Ma, il problema 8… guardate un attimo:

IL PIN DI PAOLO

Paolo ha scoperto un trucco per ricordare il suo numero di codice a quattro cifre: ha osservato che è un quadrato perfetto e che, diviso per qualunque numero da 2 a 9 compresi, dà sempre resto 1. Qual è questo numero?

…volete sapere come l’ho risolto io?

Innanzitutto, per avere 4 cifre, dev’essere il quadrato di un numero compreso tra 32 (visto che 32^2=1024) e 99 (100^2 = 10.000). Poi: se è un quadrato perfetto in Z, deve esserlo anche in Z mod k, per ogni k . Sappiamo che il numero cercato è uguale ad 1 mod k per 2<=k<=9. La sua radice dovrà allora essere pari ad una radice di 1 in ciascuno di quegli anelli. Ma in qualunque anello, il polinomio X^2 -1 =0 può avere al più 2 soluzioni, e in particolare le uniche soluzioni sono 1 e -1.  La radice dovrà dunque essere congrua a 1 o -1 modulo ciascuno di quei numeri; ovvero, almeno uno tra il numero precedente e il successivo dovrà essere un multiplo di ciascuno.

Ci siamo quindi ricondotti a cercare due numeri con differenza 2, tali che almeno uno dei due divida ciascun numero da 2 a 9: il numero compreso tra loro sarà la radice del numero richiesto. Poiché almeno uno deve dividere 2, e 2 è la loro differenza, entrambi saranno pari. Inoltre, è utile notare che uno dei due deve essere divisibile anche per 5, dunque dobbiamo cercare intorno alle decine. A questo punto, la condizione più restrittiva che possiamo usare è che uno dei due sia multiplo di 9 (di 18, dev’essere pari!). Questo ci dà 90 e 72, visto che per avvicinarci di nuovo abbastanza ad un multiplo di 10 dovremmo andare a 18 o 108, che sono fuori dal nostro range.

A questo punto abbiamo concluso: né 88 né 90 né 92 ci danno la divisibilità per 7; invece, 72 è divisibile per 2, 3, 4, 6, 8 e 9, e 70 completa fornendoci il 5 e il 7. Il PIN cercato, era dunque 71^2 = 5041.

Ovviamente, vi ho fornito la soluzione finita e ripulita, visto che neanch’io saprei rendere conto di tutti i vicoli ciechi che ho imboccato per la soluzione (avevo dimostrato ad esempio che doveva essere un numero primo, vedete che non ci è stato di alcun aiuto).

Tutto bene dunque, almeno, per me spaparanzato sul divano un sabato mattina… però mi chiedo… ma come accidenti lo risolve questo un ragazzino -in più con l’ansia e il tempo contato di una gara??

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EDIT: ok, ho risposto alla domanda nel modo più semplice… appena tornato il fratelino, gli ho chiesto di risolverlo! E ci è riuscito: ecco come

“Deve dare resto 1 diviso per 2 e per 5, quindi per 10; quindi l’ultima cifra è 1. Perché l’ultima cifra di un quadrato sia 1, l’ultima cifra della radice doveva essere 1 o 9. Basterà quindi provare per cosa è divisibile il quadrato meno uno di 39, 41, 49, 51, 59, 61, 69, 71, 79, 81, 89, 91 e 99, e troveremo quello giusto!”

Il bello di questo confronto fra fratelli, è che l’idea di base è fondamentalmente la stessa: che se un quadrato finisce per 1 la sua radice finisce per 1 o per 9 è un fatto banalmente verificabile a mano -ma anche, un caso particolare (per n=10) del fatto trovato da me che la radice debba essere congruente a 1 o -1! Chiaramente, questa minore generalità non gli ha permesso di sfruttare la congruenza per 9, e così ha dovuto farsi un bel po’ di calcoli in più… ma, sapete una cosa? Mi sa che ci ha messo decisamente meno lui! XD

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Qui il mio curriculum online. "nerd score"
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